บทที่ 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่สำคัญบางชนิด: พฤษภาคม 2017

บทที่ 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่สำคัญบางชนิด

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

การแจกแจงแบบยูนิฟอร์ม

ลักษณะ ค่าของตัวแปรสุ่มแต่ละค่า เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่าๆกัน

นิยาม

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็น X1,X2,X3,…,Xk โดยแต่ละค่ามีความน่าจะเป็นเท่ากันแล้วจะกล่าวว่า X มีการแจกแจงแบบยูนิฟอร์ม (Discrete uniform distribution) มีฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X ดังนี้

ตัวอย่าง กำหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงยูนิฟอร์ม มีพารามิเตอร์ n = 20 จงหา

ก. ความน่าจะเป็นที่ X จะมีค่าตั้งแต่ 4 ถึง 6

ข. จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ X

วิธีทำ

เนื่องจาก X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงยูนิฟอร์ม พารามิเตอร์ n = 20 ดังนั้น ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ

f(X) = 1/20 ;X = 1,2,3,..,20

การแจกแจงแบบเบอร์นูลี (Bernoulli Distribution)

ลักษณะของการทดลองแบบเบอร์นูลี

ผลลัพธ์ของการทดลองมีเพียง 2 ประเภท คือ สิ่งที่น่าสนใจจะถือว่าเป็น ความสำเร็จ(Success) และสิ่งที่ไม่สนใจจะถือว่าเป็นความไม่สำเร็จ (Failure)
ความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ p ส่วนความน่าจะเป็นของความไม่สำเร็จ คือ 1-p(หรือ q)ทำการทดลองเพียงครั้งเดียว

การแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution)

ลักษณะของการทดลองแบบทวินาม

การทดลองแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 อย่าง คือ สิ่งที่สนใจจะถือว่าเป็นความสำเร็จ(Success) และสิ่งที่ไม่สนใจจะถือว่าเป็นความไม่สำเร็จ(Failure)
มีการทดลองซ้ำกัน n ครั้ง ภายใต้สภาวการณ์เดียวกัน
ในแต่ละครั้งของการทดลองความน่าจะเป็นของความสำเร็จ คือ p ส่วนความน่าจะเป็นของความไม่สำเร็จ คือ q = 1-p โดยความน่าจะเป็นของความสำเร็จจะมีค่าคงที่ทุกครั้งของการทดลอง

การทดลองแต่ละครั้งเป็นอิสระกัน

นิยาม

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มซึงแทนจำนวนครั้งความสำเร็จ จากการทดลองแบบทวินาม n ครั้ง นั่นคือ x = 0,1,2,..n จะเรียกตัวแปรสุ่มทวินาม

ตัวอย่าง บริษัทแห่งหนึ่งทำการตรวจสอบสินค้าพบว่าในกล่องซึ่งบรรจุสินค้าเป็นจำนวนมากจะมีสินค้าชำรุดอยู่ 15% ถ้าทำการสุ่ม สินค้ามาจากกล่อง 10 ชิ้นแล้วพบว่าชำรุดตั้งแต่ 3 ชิ้นขึ้นไปจะไม่ยอมรับสินค้านั้นทั้งกล่องจงหาความน่าจะเป็นที่บริษัทแห่งนี้จะยอมรับสินค้าทั้งกล่อง

ให้ X แทนจำนวนสินค้าที่ชำรุด ดังนั้น x = 0,1,2,…,10 ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ(พบสินค้าที่ชำรุด) : p = 0.15 ความน่าจะเป็นของความไม่สำเร็จ (ไม่พบสินค้าที่ชำรุด) : 1 – p = 1 – 0.15 = 0.85 ตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบทวินามมีฟังก์ชันความน่าจะเป็น คือ

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะยอมรับสินค้าทั้งกล่องเท่ากับ 0.802

การแจกแจงแบบพัวส์ซอง (Poisson Distribution)

ลักษณะของการทดลองแบบพัวส์ซอง

⦁การทดลองเป็นการนับจำนวนครั้งของความสำเร็จที่เกิดขึ้นในขอบเขตที่กำหนด โดยขอบเขตดังกล่าวนี้อาจเป็นช่วงเวลา อาณาบริเวณ พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ

⦁ ทราบค่าเฉลี่ยของจำนวนของความสำเร็จในขอบเขตที่กำหนดให้นั้น

⦁ จำนวนครั้งของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเป็นอิสระต่อกัน

นิยาม

ตัวอย่าง จากการสำรวจนักท่องเที่ยวที่เดินทางมาท่องเที่ยวอ่าวคุ้งกระเบนพบว่ามีนักท่องเที่ยวมาเที่ยวเฉลี่ย 144 คน ในเวลา1 เดือน จงหาความน่าจะเป็นที่ในเวลา 4 วันต่อจากนี้จะมีนักท่องเที่ยวเดินทางมาเที่ยวมากกว่า 5 คน